高１数学で 最近整数分野を扱っていて 改めて感じていること， それは 数学では「具体」と「抽象」を 行ったり来たりすることが とても大切だということだ。 これは整数分野に限った話ではないけれど！ たとえば、整数の一般形として 12k-5 と 12k+7 という表し方を見たときに この２つが表していることは同じ！ ってピンとくる？ 厳密に言えば k がすべての整数を動くのであれば この2つは結局 同じ整数の集合を表している。 「ああ、確かに同じものを表しているな」と 感覚的に納得できる？ 実際に数を書き出してみると 12k-5なら -17,-5,7,19,31・・・ となる。 12k+7でも -17,-5,7,19,31・・・ となる。 こうして具体的な数字を並べてみると 「12の倍数から５を引いた数」と 「12の倍数に７を足した数」は、 結局同じ整数を表していることが見えてくる。 「12で割った余りが７」と考えてもいいし 「12で割った余りを -５と表している」と考えてもいい。 抽象的な式だけでは見えにくかったことが 具体例を書くことで実感できる。 そして その具体例からもう一度抽象的な式に戻る。 この往復が大切なのだと思う。 これは、最近扱った n進法でも同じ。 ２進法や３進法について 変換の手順だけ覚えることはできる。 しかし それだけではなかなか概念は身につかない。 ２進法なら 0,1,10,11,100,101,110,111・・・ と実際に並べてみる。 ３進法なら 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100・・・ と書いてみる。 そうすると 「使える数字が２個しかない世界では，数はこう増えていくのか」「３進法では２の次に桁が上がるのか」という感覚が 少しずつ体に馴染んでくる。 もちろん問題を解くための手順を覚えることも必要。 ただ 一定以上のレベルまで数学を伸ばそうと思うと 手順だけではどこかで苦しくなる。 公式や解法を覚えるだけではなく 「この式は具体的には何を表しているのか」 「実際に数字を入れるとどうなるのか」 「具体例に共通している性質は何なのか」 ということを何度も行き来する必要がある。 高校数学は ある意味では近道がしにくい科目なのかもしれない。 解法パターンを短時間で覚えれば、 目の前の問題には対応できる。 けれど 本当に数学的な...
